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Gli studenti di matematica hanno spesso bisogno di dare risposte "nei termini più semplici". Sebbene un'espressione spaventosamente grande e una molto concisa abbiano lo stesso risultato, un problema non è considerato risolto finché la risposta non è stata ridotta nei termini più semplici possibili. Inoltre, è molto più facile lavorare con risposte più brevi. Per questi motivi, imparare a semplificare le espressioni è un'abilità essenziale per coloro che intendono diventare matematici.

passi

Metodo 1 di 2: utilizzo dell'ordine delle operazioni

1. 

   Ricorda l'ordine delle operazioni. Prima vengono risolte le espressioni all'interno delle parentesi graffe, poi le parentesi quadre e poi le parentesi. Inoltre, all'interno di queste espressioni, prevale il seguente ordine: esponenti, moltiplicazione, divisione, addizione e sottrazione. Se l'espressione è semplificata fuori da quell'ordine, l'account potrebbe andare storto. Per aiutare a decorare l'ordine corretto, ricorda "PEnseM na baldaDAS", cioè PEMDAS (parentesi, esponenti, moltiplicazione, divisione, addizione e, infine, sottrazione).
   • Si noti che mentre la conoscenza di base dell'ordine delle operazioni consente la semplificazione delle espressioni più elementari, sono necessarie tecniche speciali per semplificare molte espressioni di variabili, inclusi quasi tutti i polinomi. Vedere il metodo due di seguito per maggiori dettagli.

2. 

   
   
   Inizia risolvendo tutti i termini tra parentesi. In matematica, le parentesi indicano che i termini al loro interno devono essere calcolati separatamente. A prescindere dalle operazioni svolte al loro interno, il primo passo verso la semplificazione è risolvere i termini tra parentesi. Vale la pena ricordare che, all'interno di ogni coppia di parentesi, prevale ancora l'ordine delle operazioni. Ad esempio, tra parentesi, devi moltiplicare prima di aggiungere, aggiungere prima di sottrarre, ecc.
   • Ad esempio, semplifichiamo l'espressione 2x + 4 (5 + 2) + 3 - (3 + 4/2). In esso, risolviamo i termini tra parentesi, cioè 5 + 2 e 3 + 4/2, prima. 5 + 2 = 7. 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
     • Il secondo termine tra parentesi è semplificato in 5, poiché dividiamo 4/2 come primo passaggio da compiere con i termini tra parentesi. Se dovessimo risolvere semplicemente da sinistra a destra, dovremmo prima aggiungere 3 e 4 e poi dividere per 2, il che darebbe un risultato sbagliato: 7/2.
   • Se ci sono più parentesi, una dentro l'altra, risolvi prima quelle che si trovano nella maggior parte, poi quelle accanto a quella e così via. L'ordine è dall'interno verso l'esterno.

3. 

   
   
   Risolvi gli esponenti. Dopo aver risolto tutto tra parentesi, è il momento di risolvere gli esponenti. Trova la soluzione per ogni esponente. Quindi inserisci le risposte nell'equazione.
   • Dopo aver affrontato le parentesi, la nostra espressione di esempio era in 2x + 4 (7) + 3-5. L'unico esponente nel nostro esempio è 3, che risulta in 9. Adatta quel risultato all'equazione al posto di 3 per ottenere 2x + 4 (7) + 9 - 5.

4. 

   
   
   Risolvi i problemi di moltiplicazione dell'espressione. Ricorda che la moltiplicazione può essere rappresentata in diversi modi. Un simbolo ×, un punto o un asterisco sono tutti usati per rappresentare una moltiplicazione. Tuttavia, un numero accanto a una parentesi oa una variabile (come 4 (x)) è utilizzato anche per indicare la moltiplicazione.
   • Ci sono due esempi di moltiplicazione nel nostro problema: 2x (2x è 2 × x) e 4 (7). Non conosciamo il valore di x, quindi lasceremo 2x così com'è. 4 (7) = 4 × 7 = 28. Possiamo quindi riscrivere l'equazione come 2x + 28 + 9 - 5.

5. 

   Procedi con il file divisione. La divisione, come la moltiplicazione, può anche essere espressa in modi diversi: & divide e taglia (come in 3/4, per esempio).
   • Poiché abbiamo già risolto un problema di divisione (4/2) quando risolviamo i termini tra parentesi, il nostro esempio non ha più problemi di divisione da risolvere. Pertanto, possiamo saltare questo passaggio. Ciò dimostra che non dobbiamo risolvere ogni operazione inclusa nell'abbreviazione PEMDAS semplificando un'espressione. Basta risolvere quelli che sono presenti nel nostro problema.

6. 

   Alcuni. È possibile risolvere le somme da sinistra a destra lungo l'espressione, ma è più facile aggiungere i numeri che sono vicini al primo valore. Ad esempio, nell'espressione 49 + 29 + 51 +71, è più facile aggiungere 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 e 100 + 100 = 200, piuttosto che aggiungere 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 e 129 + 71 = 200.
   • Il nostro esempio è stato parzialmente semplificato in "2x + 28 + 9 - 5". Ora, dobbiamo aggiungere ciò che possiamo: esaminiamo ogni problema di addizione da sinistra a destra. Non possiamo aggiungere 2x e 28, perché non conosciamo il valore di x, quindi lasciamo questo. Andiamo avanti con 28 + 9 = 37, in modo da poter riscrivere l'espressione come "2x + 37 - 5".

7. 

   Sottrarre. Questo è l'ultimo passaggio di PEMDAS. Risolvi tutti i problemi di sottrazione. Puoi risolvere l'addizione di numeri negativi in ​​questo passaggio o nello stesso passaggio dell'addizione normale: il risultato finale sarà lo stesso.
   • Nella nostra espressione, "2x + 37 - 5", c'è solo un problema di sottrazione. 37-5 = 32

8. 

   Rivedi l'espressione. Dopo aver risolto tutti i problemi nell'ordine corretto di operazione, avrai un'espressione semplificata. Tuttavia, se la tua espressione ha una o più variabili, rimarranno come sono. Questo perché, per semplificarle, è necessario trovare il valore delle variabili o utilizzare tecniche speciali per semplificare l'espressione (come mostrato di seguito).
   • La nostra risposta finale sarà "2x + 32". Non possiamo affrontare la fine del problema finché non conosciamo il valore di x. Quando lo sapremo, sarà molto più facile risolvere il problema.

Metodo 2 di 2: semplificazione di espressioni complesse

1. 

   Somma variabili simili. Quando si tratta di espressioni contenenti variabili, è importante ricordare che i termini con la stessa variabile e lo stesso esponente possono essere aggiunti e sottratti come numeri normali. I termini dovere hanno la stessa variabile e lo stesso esponente. Ad esempio, 7x e 5x possono essere aggiunti, ma 7x e 5x non possono.
   • Questa regola si applica anche ai termini con più variabili. Ad esempio, 2xy può essere aggiunto a -3xy, ma non -3xy o -3y.
   • Diamo un'occhiata all'espressione x + 3x + 6 - 8x. In esso, possiamo aggiungere 3x e -8x, poiché sono simili. In poche parole, otteniamo x - 5x + 6.

2. 

   Semplifica le frazioni divisori numerici o "fattori di annullamento". Le frazioni che hanno solo numeri (cioè non hanno variabili) al numeratore e al denominatore possono essere semplificate in diversi modi. Il modo più semplice è risolvere la frazione come un semplice problema di divisione.Inoltre, qualsiasi fattore di moltiplicazione che appare contemporaneamente al numeratore e al denominatore può essere annullato. Questo perché risulta in 1 (numero diviso per se stesso). In altre parole, se il numeratore e il denominatore condividono un fattore, può essere rimosso dalla frazione, rendendo la risposta più semplice.
   • Ad esempio, diamo un'occhiata alla frazione 36/60. Con una calcolatrice, possiamo ottenere il risultato 0.6. Possiamo anche semplificare la frazione rimuovendo i fattori comuni. Un altro modo di vedere la frazione 36/60 è (6 × 6) / (6 × 10). Questo può essere riscritto come 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, quindi la nostra espressione è in realtà 1 × 6/10 = 6/10. Ma non abbiamo ancora finito - sia 6 che 10 fattore di quota 2. Ripetendo il processo sopra, otteniamo 3/5.

3. 

   Nelle frazioni con variabili, annulla i fattori variabili. Le espressioni con variabili sotto forma di frazioni offrono opportunità uniche di semplificazione. Proprio come le frazioni normali, le frazioni con variabili consentono di rimuovere i fattori condivisi sia dal numeratore che dal denominatore. Ma nelle frazioni con variabili, questi fattori possono essere sia numeri che espressioni con variabili.
   • Vediamo l'espressione (3x + 3x) / (- 3x + 15x). Questa frazione può essere riscritta come (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x appare sia al numeratore che al denominatore. Prendendo questi fattori fuori dall'equazione, otteniamo (x + 1) / (5 - x). Allo stesso modo, nell'espressione (2x + 4x + 6) / 2, poiché ogni termine è divisibile per 2, possiamo scrivere l'espressione come (2 (x + 2x + 3)) / 2 e poi semplificalo in x + 2x + 3.
   • Nota che non puoi cancellare nessun termine - puoi solo cancellare i fattori moltiplicativi che compaiono sia nel denominatore che nel numeratore. Ad esempio, nell'espressione (x (x + 2)) / x, la "x" può essere cancellata sia al numeratore che al denominatore, ottenendo (x + 2) / 1 = (x + 2). Tuttavia, (x + 2) / x no può essere cancellato a 2/1 = 2.

4. 

   Moltiplica i termini tra parentesi per le loro costanti. Quando si tratta di variabili tra parentesi con accanto una costante, a volte possiamo moltiplicare ogni termine tra parentesi per la costante e ottenere un risultato più semplice. Ciò si applica alle costanti puramente numeriche e alle costanti che includono variabili.
   • Ad esempio, l'espressione 3 (x + 8) può essere semplificata in 3x + 24, mentre 3x (x + 8) può essere semplificato in 3x + 24x.
   • Nota che in alcuni casi (come le frazioni con variabili), la costante adiacente alle parentesi dà la possibilità di annullare. Pertanto, è meglio non usarlo per moltiplicare tra parentesi. Nella frazione (3 (x + 8)) / 3x, ad esempio, il fattore 3 compare sia al numeratore che al denominatore, quindi possiamo cancellarlo e semplificare l'espressione in (x + 8) / x. È più facile lavorare in questo modo che con (3x + 24x) / 3x, che è il risultato che avremmo ottenuto se avessimo moltiplicato tra parentesi.

5. 

   Semplifica l'utilizzo del factoring. Il factoring è una tecnica mediante la quale alcune espressioni con variabili, inclusi i polinomi, possono essere semplificate. Pensa alla fattorizzazione come l'opposto della "moltiplicazione per parentesi" vista sopra: a volte, un'espressione può diventare più semplice se moltiplichiamo un termine per l'altro, invece di lavorare con una singola espressione unificata. Ciò è particolarmente vero se la scomposizione in fattori di un'espressione ti consente di cancellarne una parte (proprio come faresti in una frazione). In casi speciali (solitamente con equazioni quadratiche), la fattorizzazione consente di trovare anche soluzioni all'equazione.
   • Diamo di nuovo un'occhiata all'espressione x - 5x + 6. Questa espressione può essere scomposta in (x - 3) (x - 2). Pertanto, se x - 5x + 6 è il numeratore di una data espressione con uno di questi termini al denominatore, come nel caso dell'espressione (x - 5x + 6) / (2 (x - 2)), possiamo scriverlo in modo fattorizzato in modo da poterlo annullare con il denominatore. In altre parole, con (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)), i termini in (x - 2) vengono cancellati, risultando in (x - 3) / 2.
   • Come affermato sopra, un'altra ragione per fattorizzare un'espressione ha a che fare con il fatto che la fattorizzazione rivela la risposta a certe equazioni, specialmente quando quelle equazioni sono scritte come espressioni uguali a zero. Ad esempio, diamo un'occhiata all'equazione x - 5x + 6 = 0. Attraverso il factoring, otteniamo (x - Let's 3) (x - 2) = 0. Poiché qualsiasi numero moltiplicato per zero risulta zero, sappiamo che qualsiasi termine tra parentesi può essere uguale a zero. Pertanto, anche qualsiasi espressione sul lato sinistro risulterà zero. Così, 3 e 2 sono le risposte all'equazione.